Forslag til rækkefølger af øvelser

Opg 115, Opg 136, Opg 509 skip iii), Opg 112

Start på uendelige rækker af variable led, potensrækker, $\sum^∞_{n=0} c_nx^n, x\in R$

Antag $\sum^∞_{n=0} c_nx^n$ er K for $x \in I$, I Interval

så siger $\sum^∞_{n=0} c_nx^n$ at være punktvis K på intervalet I.

$f(x) = \sum\limits^∞_{n=0} c_nx^n,x \in I$ funktion

1. Hvad er I? Altså for hvilke x er rækken K?

2. Er funktion kontinuert? Differentiabel? K?

$f'(x)=\sum\limits^∞_{n=0} (c_nx^n)' = \sum\limits^∞_{n=0} n*c_nx^{n-1}$?

Husk på: $y' = 2ty$

$y= c_0[1+t^2+t^4/2+...+t^n/(n/2)!+...]$

= $c_0\sum\limits^∞_{n=0} 1/(n/2)!*t^n$

$= c_0\sum\limits^∞_{n=0} 1/k!*t^{2k}$

1. $\sum^∞_{n=0} c_nx^n, a_n = c_nx^n$

Hjælpesætning 4.27: $\sum^∞_{n=0} |a_n|$ K → $\sum^∞_{n=0} a_n$ K

Kvotientkriteriet:

$|$$a_{n+1}\over a_n$$|$ $=|$$c_{n+1}x^{n+1}\over c_nx^n$$|$ $=|$$c_{n+1}\over c_n$$|$ $|x|$