1) Approksimation af Fourrierrækker (Vha. Majorantrækker og Integralkriteriet)

Repetition: Uniform K på R: $\forall ε>0 \exists N_0 \in N$

$|f(x)-S_n(x)| ≤ε \forall x \in R \forall N ≥ N_0$

$S_n(x)=a_0/2+\sum^N_{n=1}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)$

Approximation: Givet $(ε = 0.1,0.01)$ Hvordan bestemmes $N_0$?

Svar: (Korollar 6.16) Bedre løsning: VHA Majorantrækker & "Integralkriteriet"

Dag 6: $f(x)=\sum^60_{n=0}f_n(x),$ Majorantrækker: $|f_n(x)≤k_n \forall n, x \in I$

$\sum^∞_{n=0}k_n$ K: $|f(x)-\sum^N_{n=0}f_n(x)| ≤ \sum^∞_{n=N+1}K_n$

For fourierrækker: $f_n(x) = a_n\cos(nx) +b_nsin(nx)$

$|f_n(x)| ≤ |a_n||\cos(nx)| + |b_n||\sin(nx)|$ $≤ |a_n| + |b_n|$

"Integral_kriteriet.pdf"

g aftagende kont funktion $K_n=g(n)$

$\sum^∞_{n=N+1}K_n ≤ \int^∞_Ng(x)dx$

Sætning 6.17: Antag g: $[1,∞[$ → $[0,∞[$ aftagende kont funktion.

Hvorom der gælder at:

1. $\int^∞_1f(x)dx$ K

2. $|a_n|+|b_n| ≤ g(n) = K_n$