N'te ordnede linære differentialligninger

$D_ny(t) = a_0 y(t) + ... + a_n-1 y'(t) + a_ny(t) = u(t)$

u(t) kendt kontinuert funktion

y(t) ubekendt løsning

Eksempel

$y''(t) + 2y'' + 2y' + 0y = 0$

Opg. Bestem samtlige løsninger

To tilfælde

1. u=0: Homogene ligning $D_ny = 0$

2. u≠0 Inhomogene ligning $D_n y = u$

For 1

Bemærkning $D_n$ er lineær.

$D_n(c_1y_1+c_2y_2) = c_1D(y_1) + c_2D_n(y_2)$

$c_1, c_2 € R$

Dermed: Antag $y_1$& $y_2$ løsninger ⇒ $c_1y_1 +c_2y_2$ ny løsning

Løsningsmængden er et vektorrum (Løsningsrum)

1A) Hvordan bruger man det= Hvad ledder efter?

1B) Hvordan leder vi efter løsninger? Bestemmes løsninger?

Svar 1A. Sætning 1.4 i lærebogen: Betragt $D_ny = 0,$